Une liaison, ce sont de grands mots avant,
des petits mots pendant et de gros mots après.


Charles Lutwidge Dodgson, alias Lewis Carroll, 1832-1897.

Si 6 chats tuent 6 rats en 6 minutes,
combien faudra-t-il de chats pour occire
100 rats en 50 minutes ?

On a là un bon exemple d'un phénomène qui se produit souvent dès que l'on traite des problèmes à double proportion; au départ la solution semble cohérente, mais à l'usage, l'on s'aperçoit qu'en raison de circonstances particulières au cas considéré, la solution est soit impossible soit indéfinie et qu'elle exige des données supplémentaires.

En l'occurrence, la «circonstance particulière» tient à l'exclusion de tout chat ou rat fractionnaire, ce qui rend la solution, comme on le verra, indéfinie.

En vertu des règles ordinaires de la double proportion, la solution est la suivante :

Mais quand on retrace l'histoire de cette scène sanguinaire dans tous ses détails horrifiques, l'on découvre qu'au bout de 48 minutes 96 rats sont morts et qu'il reste 4 rats vivants et 2 minutes pour les tuer. La question est de savoir si c'est encore possible.

Or il y a au moins quatre façons différentes d'accomplir l'exploit originel voulant que 6 chats tuent 6 rats en 6 minutes. Pour être clair, énumérons-les:

Dans les cas A et B il est clair que les 12 chats (qu'on suppose frais et dispos après leurs 48 minutes de massacre) sont en mesure de régler le problème dans le temps imparti. Mais, dans le cas C, il faudrait que deux chats puissent tuer deux tiers de rat en deux minutes; et dans le cas D, qu'un chat puisse tuer un tiers de rat en deux minutes. Hypothèse exclue au départ. Sans compter qu'il serait impossible d'assigner les fractions de rat (à supposer même qu'elles fussent dotées d'une égale vitalité) aux différents chats. Personnellement, si j'étais un chat en D et que je n'eusse pas les griffes au point, je préférerais assurément avoir mon tiers de rat tranché à partir de la queue.

Il y a de ces tortionnaires, que fait la SPA ?

Pour C et D, il faut donc à l'évidence augmenter la puissance «chats».

En C, avoir moins de deux chats ne servirait à rien. Si l'on en avait deux, et qu'ils commençassent à tuer leurs quatre rats dès le début du temps imparti, ils les auraient achevés en 12 minutes, ce qui leur laisserait 36 minutes, pendant lesquelles ils pourraient se lamenter, comme Alexandre, de ne pas en avoir douze autres à tuer.

En D, il suffirait d'un chat supplémentaire : il tuerait ses quatre rats en 24 minutes et disposerait encore de 24 minutes, pendant lesquelles il pourrait en tuer quatre autres. Mais dans un cas comme dans l'autre les 2 dernières minutes ne serviraient à rien, si ce n'est à tuer à demi des rats, méthode barbare qu'on exclura ici.

Fameux chasseur, mais piètre bourreau.

Résumons-nous : si les six chats tuent les six rats selon les méthodes A ou B, la réponse est 12; 14 avec C et 13 selon D.

Voilà donc un exemple de solution rendue «indéfinie» par les circonstances du cas envisagé. Si l'on souhaite un exemple de solution «impossible», en voici un : «si un chat tue un rat en une minute, combien faut-il de chats pour tuer un rat en un millième de seconde ?» la réponse mathématique est évidemment 60 000 et à n'en point douter aucun nombre inférieur ne suffirait; mais 60 000 suffiraient-ils ? J'en doute fort. Je pense qu'au moins 50 000 de ces 60 000 chats ne verraient même pas le rat, ni n'auraient la moindre idée de ce qui se passerait.

Dernier exemple : «si un chat peut tuer un rat en une minute, combien lui faudrait-il de temps pour en tuer 60 000 ?» Ô combien, en effet! À mon avis, ce seraient les rats qui tueraient le chat.

Lewis Carroll.


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